В семье Максима Баксова, заместителя начальника отдела контроля ведения государственного лесного реестра и земельных отношений, участником Великой Отечественной войны был дед Алексей Иванович Баксов.
В ходе Великой Отечественной Алексей Иванович дослужился до генерала и получил почётное звание Героя Советского Союза за успешные действия в ходе операции "Багратион". Войну начал в должности начальника оперативного отдела главного управления ПВО НКВД СССР в городе Москве. Попал в армию заместителем командира 160-й стрелковой дивизии Брянского фронта. В феврале 1943 года Алексей Иванович становится её командиром. В составе этой дивизии он принял участие в Острогожско-Россошанской, Воронежско-Касторненской, Харьковской наступательной и Харьковской оборонительной операциях.
В конце февраля 1943 года Красная Армия под ударами гитлеровских войск отступала из-под Харькова, полковник А.И. Баксов проявил выдержку и выдающиеся организаторские способности. Предводительствуемые им части уверенно отходили от одного оборонительного рубежа к другому, отражая натиск немецких танковых войск. Ни разу Баксов не позволил фашистам прорвать оборону своей дивизии. 160-я стрелковая сохранила своё вооружение и большую часть личного состава.
В июне 1943 года Алексей Иванович Баксов получает под своё начало 67-ю гвардейскую стрелковую дивизию, во главе которой он принял участие в Курской битве, по итогам которой Красная Армия снова - и в этот раз уже окончательно - освободила Харьков. За этим последовала Невельско-Городокская наступательная операция. А затем дивизия Баксова была переброшена в Белоруссию.
Алексей Иванович Баксов отличился в ходе первого этапа операции "Багратион", когда Красная Армия создала к востоку от Минска три "котла", в которых окружила и разгромила довольно мощные немецкие группировки, чем и обеспечила победу под Минском. Дивизия Баксова оказалась в районе Витебского котла, и здесь её командиру довелось продемонстрировать, что к концу войны он вырос в серьёзного полководца.
22 июня 1944 года, спустя ровно три года после начала войны, в районе Засорье - Орехи загрохотали советские пушки. Это дивизия Баксова проводила артподготовку. Обстрел был коротким, после чего бойцы дивизии пошли в наступление. Цель, которую ставили комдиву, была скромна: разведка боем. Но успех превзошёл все ожидания. Стремительной атакой передовые батальоны дивизии выбили гитлеровцев из первой линии окопов. Немцы, не ожидавшие здесь советского наступления, понесли большие потери и отступили в беспорядке. На следующий день Баксов двинул в наступление всю дивизию, завершил прорыв глубоко эшелонированной обороны противника и перерезал шоссейную и железную дороги Полоцк - Витебск. К вечеру 24 июня гвардейцы вышли на северный берег Западной Двины. Успех во многом был предрешён тщательной подготовкой к наступлению, которой руководил Баксов. Генерал (а Алексей Иванович к этому времени уже носил на плечах погоны генерал-майора) много внимания уделял сколачиванию подразделений. В тылу, позади советских оборонительных позиций, в местах, незаметных для вражеского наблюдения, по его приказу были оборудованы тренировочные площадки, на которых советские сапёры возвели точную копию немецких оборонительных сооружений. Баксов лично руководил учениями, добиваясь прежде всего, чтобы танкисты, артиллеристы, пехотинцы, сапёры, связисты, миномётчики, химики хорошо отработали своё взаимодействие в условиях боя. В первые же дни 67-я гвардейская доказала, что эти учения не прошли даром. Войска действовали слаженно и добились крупного успеха в первые же дни.
Едва передовые подразделения 67-й гвардейской дивизии вышли к Западной Двине, как Баксов отдал приказ форсировать реку с ходу. Бойцы переправлялись на подручных средствах. Желая лично руководить операцией по захвату плацдармов, лично контролировать обстановку, а главное - подать подчинённым пример бесстрашия, Баксов в числе первых переправился на южный берег Западной Двины, откуда и руководил дальнейшими операциями.
Форсирование Западной Двины гвардейцами Баксова сыграло не последнюю роль в окружении Витебско-Оршанской группировки захватчиков.
За образцовое выполнение заданий командования и проявленное при этом личное мужество генерал Баксов был награждён медалью Героя Советского Союза. Указ об этом состоялся 22 июля 1944 года - спустя всего месяц после начала наступления.
С августа 1944 года до августа 1946 года - командир 2-го гвардейского стрелкового корпуса 6-й гвардейской армии 1-го Прибалтийского фронта. Участвовал в Мемельской наступательной операции и в блокаде Курляндской группировки врага.
В 1947 году А.И. Баксов окончил Высшую военную академию имени К.Е. Ворошилова.
С ноября 1947 года – служил в Управлении по внешним сношениям Генерального штаба, находился за границей в длительной правительственной командировке.
С декабря 1950 года - начальник штаба Московского района ПВО.
26 июня 1953 года участвовал с группой генералов под руководством Г.К. Жукова в аресте Л.П. Берия в Кремле.
С сентября 1954 года - начальник штаба Московского округа ПВО, с апреля 1955 года - 1-й заместитель командующего и член Военного Совета Московского округа ПВО.
С ноября 1962 года А.И. Баксов - представитель Главнокомандующего Объединённых вооружённых сил государств - участников Варшавского договора в Болгарской народной армии.
С февраля 1972 года генерал-полковник А.И.Баксов в запасе, затем в отставке. Умер 26 ноября 1986 года.
Награждён 2 орденами Ленина, 6 орденами Красного Знамени, орденами Суворова 2-й степени, Кутузова 2-й степени, Красной Звезды, медалями, иностранным орденом "Народная Республика Болгария" 1-й степени.